Propositional Calculus Proofs (8)

Th27) ⊢ (P ∧ Q) ⇒ (Q ∧ P)   Commutativity of ∧
1.) ⊢ (Q ⇒ ¬P) ⇒ [¬(¬P) ⇒ ¬Q]                                                    Th24
2.) ⊢ P ⇒ ¬(¬P)                                                                               Th20
3.) ⊢ (Q ⇒ ¬P) ⇒ (P ⇒ ¬Q)                                                            Th13
4.) ⊢ [(Q ⇒ ¬P) ⇒ (P ⇒ ¬Q)] ⇒ [¬(P ⇒ ¬Q) ⇒ ¬(Q ⇒ ¬P)]      Th24
5.) ⊢ ¬(P ⇒ ¬Q) ⇒ ¬(Q ⇒ ¬P)                                                       MP 3,4
6.) ⊢ (P ∧ Q) ⇒ (Q ∧ P)                                                                   Definition of ∧

Th28) ⊢ (P ∧ Q) ⇒ Q

1.) ⊢ ¬Q ⇒ (P ⇒ ¬Q)                                                    Lk1

2.) ⊢ [¬Q ⇒ (P ⇒ ¬Q)] ⇒ [¬(P ⇒ ¬Q) ⇒ ¬(¬Q)]      Th24

3.) ⊢ ¬(P ⇒ ¬Q) ⇒ ¬(¬Q)                                            MP1,2

4.) ⊢ ¬(¬Q) ⇒ Q                                                           Th19

5.) ⊢ ¬(P ⇒ ¬Q) ⇒ Q                                                    Th5

6.) ⊢ (P ∧ Q) ⇒ Q                                                          Definition of ∧

Th29) ⊢ (P ∧ Q) ⇒ P

1.) ⊢ ¬P ⇒ (Q ⇒ ¬P)                                                      Lk1

2.) ⊢ [¬P ⇒ (Q ⇒ ¬P)] ⇒ [¬(Q ⇒ ¬P) ⇒ ¬(¬P)]       Th24
3.) ⊢ ¬(Q ⇒ ¬P) ⇒ ¬(¬P)                                            MP1,2
4.) ⊢ ¬(¬P) ⇒ P                                                            Th19
5.) ⊢ ¬(Q ⇒ ¬P) ⇒ P                                                    Th5
6.) ⊢ (Q ∧ P) ⇒ P                                                          Definition of ∧
7.) ⊢ (P ∧ Q) ⇒ (Q ∧ P)                                                Th27
8.) ⊢ (P ∧ Q) ⇒ P                                                          Th5

Th30) ⊢ P ⇒ [Q ⇒ (P ∧ Q)]
1.) ⊢ P ⇒ [(P ⇒ ¬Q) ⇒ ¬Q]                                              Th16
2.) ⊢ [(P ⇒ ¬Q) ⇒ ¬Q] ⇒ [¬(¬Q) ⇒ ¬(P ⇒ ¬Q)]           Th24
3.) ⊢  P ⇒ [¬(¬Q) ⇒ ¬(P ⇒ ¬Q)]                                     Th5
4.) ⊢ Q ⇒ ¬(¬Q)                                                                Th20
5.) ⊢  P ⇒ [Q ⇒ ¬(P ⇒ ¬Q)]                                             Th13
6.) ⊢  P ⇒ [Q ⇒ (P ∧ Q)]                                                   Definition of ∧