Propositional Calculus Proofs (12)

Th49.) ⊢ ¬(¬P) ⇔ P
1.) ⊢ ¬¬P ⇒ P                         Th24

2.) ⊢ P ⇒ ¬¬P                         Th25

3.) ⊢ ¬(¬P) ⇔ P                     Th40

Th50.) ⊢ ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B)  De Morgan's First Law
1.) ⊢ ¬(A ∧ B) ⇔ ¬{¬[A ⇒ (¬B)]}                Definition of ∧
2.) ⊢ ¬{¬[A ⇒ (¬B)]} ⇔ [A ⇒ (¬B)]            Th49
3.) ⊢ ¬(A ∧ B) ⇔ [A ⇒ (¬B)]                         Th42
4.) ⊢ ¬(A ∧ B) ⇔ [¬(¬A) ⇒ (¬B)]                 Th49
5.) ⊢ ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B)                           Definition of ∨

Th51.) ⊢ ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B)  De Morgan's Second Law
1.) ⊢ ¬(A ∨ B) ⇔ ¬(¬A ⇒ B)                          Definition of ∨
2.) ⊢ ¬(A ∨ B) ⇔ ¬[¬A ⇒ ¬(¬B)]                 Th49
3.) ⊢ ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B)                           Definition of ∧