Propositional Calculus Proofs (6)

Th21) U ⇒ I ⊢ (O ⇒ U) ⇒ (O ⇒ I)
1.) ⊢ (U ⇒ I) ⇒ [(O ⇒ U) ⇒ (O ⇒ I)]             Th11 
2.) ⊢ U ⇒ I                                                        Hyp
3.) ⊢ (O ⇒ U) ⇒ (O ⇒ I)                                  MP 1,2

Th22) E ⇒ F ⊢ (F ⇒ G) ⇒ (E ⇒ G)

1.) ⊢ (E ⇒ F) ⇒ [(F ⇒ G) ⇒ (E ⇒ G)]             Th12

2.) ⊢ E ⇒ F                                                        Hyp

3.) ⊢ (F ⇒ G) ⇒ (E ⇒ G)                                  MP 1,2

Th23) P ⇒ Q , R ⇒ S ⊢ (Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ S)

1.) ⊢ P ⇒ Q                                                         Hyp

2.) ⊢ (Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R)                                   Th22

3.) ⊢ R ⇒ S                                                         Hyp

4.) ⊢ (P ⇒ R) ⇒ (P ⇒ S)                                    Th21

5.) ⊢ (Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ S)                                   Th5

Th24) ⊢ (P ⇒ Q) ⇒ (¬Q ⇒ ¬P)  

1.) ⊢ ¬(¬P) ⇒ P                                                    Th19

2.) ⊢ Q ⇒ ¬(¬Q)                                                  Th20

3.) ⊢ (P ⇒  Q) ⇒ [¬(¬P) ⇒ ¬(¬Q)]                    Th23

4.) ⊢ (¬¬P ⇒ ¬¬Q) ⇒ (¬Q ⇒ ¬P)                      Lk3

5.)  ⊢ (P ⇒ Q) ⇒ (¬Q ⇒ ¬P)                                Th5